Consigne:
1. On fixe \(x\gt 0\). Observer que l'on a un encadrement $$\int^{n+1}_n\frac x{1+t^2x^2}\,dt\leqslant\frac x{1+n^2x^2}\leqslant\int^n_{n-1}\frac x{1+t^2x^2}\,dt$$ pour tout \(n\geqslant1\)
2. Obtenir à partir du résultat précédent un encadrement par des intégrales du reste de la série de fonctions $$R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac x{1+n^2x^2}$$ puis exprimer la valeur de ces intégrales
3. Montrer en utilisant cet encadrement que \(\sup_{x\in]0,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert\) ne tend pas vers zéro quand \(N\to+\infty\) et conclure que la convergence de la série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac x{1+n^2x^2}\) n'est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\)
4. Montrer cependant que l'on a \(\sup_{x\in[a,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert\leqslant\frac\pi2-\arctan(Na)\) et retrouver que la convergence de \(S(x)\) est uniforme sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a\gt 0\)
1° : étudier les variations de la fonction \(t\mapsto f(t,x)\) Soit \(x\gt 0\) fixé
On étudie la monotonie de \(t\mapsto f(t,x)=\frac x{1+t^2x^2}\)
$$\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{-2tx^3}{(1+t^2x^2)^2}\lt 0$$ pour \(x\) fixé, la fonction \(t\mapsto f(t,x)\) est donc décroissante
2° : majoration et minoration du reste via relation de Chasles \(\forall x\gt 0\) fixé, on a : $$\begin{align}&f(n+1,t)\leqslant f(t,x)\leqslant f(n,t)\\ \implies& f(n+1,x)\leqslant\int^{n+1}_nf(t,x)\,dt\leqslant f(n,x)\cdot1\end{align}$$ et avec \(n\) remplacé par \(n-1\) : $$f(n,x)\leqslant\int^n_{n-1}f(t,x)\,dx$$
2: $$\begin{align} R_N(x)&=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac x{1+n^2x^2}\\ &\leqslant\int^{+\infty}_N\frac x{1+(tx)^2}\,dx\\ &=\lim_{R\to+\infty}\arctan(Rx)-\arctan(Nx)\\ &=\frac\pi2-\arctan(Nx)\end{align}$$ de même, \(R_N(x)\geqslant\frac\pi2-\arctan((N+1)x)\)
3° : le \(\sup\) n'est pas nul \(\to\) pas de convergence uniforme D'après l'inéquation précédente, \(\frac\pi2\) est le plus petit des majorants de \(R_N(x)\)
Donc $$\lim_{N\to+\infty}\sup_{x\in]0,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert=\frac\pi2\ne0$$ donc il n'y a pas de convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\)
$$\sup_{x\geqslant a}R_N(x)\leqslant\frac\pi2-\arctan(Na)\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0$$ il y a donc la convergence uniforme pour \(\lvert x\rvert\geqslant a\)
(Intégrale - Intégration (Relation de Chasles) )